Diagramas de Venn

 Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos. A menudo, se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos. Los diagramas de Venn, también denominados "diagramas de conjunto" o "diagramas lógicos", se usan ampliamente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza, lingüística, informática y negocios. 

Muchas personas los vieron por primera vez en la escuela cuando estudiaron Matemática o Lógica, ya que los diagramas de Venn se convirtieron en una parte del plan de estudio de la "nueva Matemática" en la década de 1960.

Estos pueden ser diagramas sencillos que involucran dos o tres conjuntos con algunos elementos o pueden volverse muy sofisticados, por ejemplo, en presentaciones en 3D, ya que utilizan seis o siete conjuntos o más.

Se usan para hacer un análisis detallado y para representar cómo se relacionan los elementos entre sí dentro de un "universo" o segmento determinado. Los diagramas de Venn permiten a los usuarios visualizar los datos de forma clara y con gran alcance y, por este motivo, se utilizan comúnmente en presentaciones e informes. Se relacionan estrechamente con los diagramas de Euler, pero se diferencian en que estos últimos omiten los conjuntos si estos no contienen elementos. Los diagramas de Venn muestran las relaciones incluso si un conjunto está vacío.

Historia

Los diagramas de Venn llevan el nombre del lógico británico, John Venn. Él escribió sobre ellos en un artículo redactado en 1880 titulado "De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos" en la revista "Philosophical Magazine and Journal of Science".

Pero las raíces de este tipo de diagrama se remontan a un período muy anterior, al menos 600 años atrás. Alrededor del año 1200, el filósofo y lógico Ramon Llull (Raimundo Lulio en español) de Mallorca, usó un tipo de diagrama similar, escribió la autora M.E. Baron en un artículo redactado en 1969 que realizaba un seguimiento de su historia. Ella también atribuye el crédito al matemático y filósofo alemán, Gottfried Wilhelm von Leibnitz de haber dibujado diagramas similares a finales de 1600.

En la década de 1700, el matemático suizo Leonard Euler (que se pronuncia Oy-ler) inventó lo que luego se conocería como "diagrama de Euler", el predecesor más directo del diagrama de Venn. De hecho, John Venn se refería a sus propios diagramas como "círculos de Euler" y no "diagramas de Venn". El filósofo estadounidense Clarence Irving (C.I.) Lewis publicó por primera vez el término "diagramas de Venn" en su libro escrito en 1918 llamado, "A Survey of Symbolic Logic".

Los diagramas de Venn continuaron evolucionando en los siguientes 60 años con avances de la mano de expertos, como David W. Henderson, Peter Hamburger, Jerrold Griggs, Charles E. “Chip” Killian y Carla D. Savage. Su trabajo se centraba en los diagramas de Venn simétricos y su relación con los números primos o aquellos indivisibles por otros números que no sean 1 y el número mismo. Uno de estos diagramas simétricos, basado en el número primo 7, se conoce ampliamente en las esferas matemáticas como "Victoria".

Otros nombres destacados en el desarrollo de los diagramas de Venn son A. W. F. Edwards, Branko Grunbaum y Henry John Stephen Smith. Entre otras cosas, modificaron las figuras en los diagramas para permitir una representación más sencilla de los diagramas de Venn en un número cada vez mayor de conjuntos.

Ejemplo

Supongamos que nuestro universo es de mascotas y queremos comparar qué tipo de mascota tenemos en común los miembros de nuestra familia.

• El conjunto A contiene mis preferencias: perro, ave y hámster.
• El conjunto B contiene las preferencias del miembro B de la familia: perro, gato, pez.
• El conjunto C contiene las preferencias del miembro C de la familia: perro, gato, tortuga, serpiente.
• La superposición, o intersección, de los tres conjuntos incluye solamente al perro. Al parecer, tendremos un perro.

Glosario de diagrama de Venn

Conjunto

Una colección de cosas. Dada la versatilidad de los diagramas de Venn, las cosas pueden ser realmente lo que quieras. Pueden ser elementos, objetos, miembros o términos similares.

Unión

Todos los elementos de los conjuntos.

Intersección

Los elementos que se superponen en los conjuntos. A veces se denominan "subconjuntos".

Diferencia simétrica entre dos conjuntos

Todo, excepto la intersección.

Complemento absoluto

Todo lo que no está en el conjunto.

Complemento relativo

En un conjunto pero no en el otro.

Diagrama de Venn a escala

También se denomina "área proporcional". Se modifica el tamaño de los círculos (y otras figuras) con base en su representación proporcional de la totalidad.

Diagramas de Venn y conjuntos

Los diagramas de Venn proporcionan una vista pictórica de los conjuntos. En un diagrama de Venn, un rectángulo describe el conjunto universal. Los subconjuntos del conjunto universal se dibujan como círculos. 

El interior de un círculo representa los elementos de ese conjunto. En la figura se observan dos conjuntos A y B dentro del conjunto universal U. Los elementos que no están en A ni en B están en la región 1. Los elementos en la región 2 están en A pero no en B. La región 3 representa A ∩ B, los elementos comunes a A y B. La región 4 comprende los elementos en B pero no en A.

Sea U un conjunto universal y sean A, B y C subconjuntos de U. Las siguientes propiedades se cumplen.

a) Leyes asociativas:

(𝐴∪𝐵)∪𝐶=𝐴∪(𝐵∪𝐶),        (𝐴∩𝐵)∩𝐶=𝐴∩(𝐵∩𝐶)

b) Leyes conmutativas:

𝐴∪𝐵=𝐵∪𝐴,       𝐴∩𝐵=𝐵∩𝐴

c) Leyes distributivas:

𝐴∩(𝐵∪𝐶)=(𝐴∩𝐵)∪(𝐴∩𝐶),          𝐴∪(𝐵∩𝐶)=(𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶)

d) Leyes de identidad:

𝐴∪∅=𝐴,          𝐴∩𝑈=𝐴

f) Leyes de idempotencia:

𝐴∪𝐴=𝐴,          𝐴∩𝐴=𝐴

g) Leyes de acotación:

𝐴∪𝑈=𝑈,          𝐴∩∅=∅

h) Leyes de absorción:

𝐴∪(𝐴∩𝐵)=𝐴,          𝐴∩(𝐴∪𝐵)=𝐴

Fuentes:

¿Qué es un diagrama de Venn? | Lucidchart

Johnsonbaugh, R. (2005). Matemáticas discretas. Pearson Educación.

Conjuntos

 Un conjunto es simplemente una colección de objetos. En ocasiones se hace referencia a los objetos como elementos o miembros. Si un conjunto es finito y no muy grande, es posible describirlo por la lista de los elementos en él. 

Teoría de conjuntos 

La teoría de conjuntos es la rama de la matemática que estudia a los conjuntos. Fue introducida como disciplina por el matemático ruso Georg Cantor, quien definió al conjunto como la colección de elementos finitos o infinitos y lo utilizó para explicar las matemáticas.

Cantor estudió el conjunto de números racionales y naturales y fue revolucionario su descubrimiento de los conjuntos de números infinitos, ya que develó la existencia de infinitos de diferentes tamaños al asegurar que siempre se puede encontrar un infinito mayor.

Los descubrimientos de Cantor no fueron bien recibidos en el ámbito matemático de finales del siglo XIX. Sin embargo, hoy es considerado un visionario en el estudio de lo que él denominó los transfinitos, estudio que contribuyó al de los conjuntos abstractos e infinitos.

Tipos de conjuntos

A la hora de formar un conjunto, la manera y el porqué de la agrupación de los elementos que lo conforman puede variar dando lugar a diferentes tipos de conjuntos, que pueden ser:

• Conjuntos finitos. Sus elementos pueden contarse o enumerarse en su totalidad. Por ejemplo: los meses del año, los días de la semana o los continentes.
• Conjunto infinito. Sus elementos no se pueden contar o enumerar en su totalidad, debido a que no tienen fin. Por ejemplo: los números.
• Conjunto unitario. Está compuesto por un único elemento. Por ejemplo: La Luna es el único elemento en el conjunto “satélites naturales de la Tierra”.
• Conjunto vacío. No presenta ni contiene elementos.
• Conjunto homogéneo. Sus elementos presentan una misma clase o categoría.
• Conjunto heterogéneo. Sus elementos difieren en clase y categoría.

Respecto a la relación entre conjuntos, pueden ser:

• Conjuntos equivalentes. La cantidad de elementos entre dos o más conjuntos es la misma.
• Conjuntos iguales. Dos o más conjuntos están compuestos por elementos idénticos.

Subconjunto

Se denomina subconjunto al conjunto que se encuentra dentro de otro conjunto, es decir, el conjunto A es subconjunto del conjunto B, si todos los elementos de A están incluidos en B.

Por ejemplo:

• Los mamíferos son un subconjunto del conjunto animales.
• Los números impares son un subconjunto del conjunto números naturales.
• Los países de América del Sur son un subconjunto del conjunto países del mundo.
• Los meses de primavera son un subconjunto del conjunto meses del año.
• Los niños de primer grado son un subconjunto del conjunto de niños de la escuela.

La palabra conjunto también se emplea en otras áreas, tal es el caso de:

• Conjunto musical. Agrupación que contiene dos o más personas que, a través de la voz o instrumentos musicales, representan obras musicales.
• Conjunto en programación. Agrupación de diversos valores, que no tienen un orden determinado ni valores duplicados.
• Conjunto vocal. Agrupación de personas que interpretan una obra musical de forma coordinada.
• Conjunto numérico. Agrupación de números mediante una serie de propiedades estructuradas.
• Conjunto de instrucciones. Agrupación de instrucciones que una CPU de computadora puede ejecutar.

Por ejemplo, la ecuación

𝐴 = {1, 2, 3, 4} 

describe un conjunto A integrado por cuatro elementos 1, 2, 3 y 4. Un conjunto se determina por sus elementos y no por el orden particular en el que se enumeren. Así, es lo mismo si A se especifica como

𝐴 = {1, 3, 4, 2}

Se supone que los elementos que forman un conjunto son distintos, y aunque por alguna razón podemos tener duplicados en la lista, sólo una ocurrencia de cada uno está en el conjunto. Por esta razón, también podemos describir el conjunto 𝐴 definido  anteriormente como

𝐴 = {1, 2, 2, 3, 4}

Si un conjunto es finito grande o infinito, se describe mediante una propiedad necesaria para ser miembro. Por ejemplo, la ecuación

𝐵 = {𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟, 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜} 

describe el conjunto B formado por todos los enteros pares, positivos; es decir, B consiste en los enteros 2, 4, 6, etcétera. La barra vertical “|” se lee “tal que”. 

                                    𝐵 = {𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟, 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜}

La ecuación anterior  se leería “B es igual al conjunto de todas las x tales que x es un entero par, positivo”. Aquí, ser “un entero par, positivo” es la propiedad necesaria para pertenecer al conjunto. Observe que la propiedad aparece después de la barra vertical.

Conjunto nulo

El conjunto sin elementos se llama conjunto vacío (o nulo) y se denota por 𝜙. Así, 

𝜙 = {}.

Conjuntos iguales

Dos conjuntos 𝑋 y 𝑌 son iguales y escribimos 𝑋 = 𝑌,  si 𝑋 y 𝑌  tienen los mismos elementos. Dicho de otra manera,  𝑋 = 𝑌 si para cada 𝑥, si 𝑥 ∈ 𝑋, entonces 𝑥 ∈ 𝑌 (de manera que todo elemento de 𝑋 es un elemento de 𝑌) y para toda 𝑥, si 𝑥 ∈ 𝑌, entonces 𝑥 ∈ 𝑋 (de manera que todo elemento de Y es un elemento de X). 

En símbolos, X = Y si y sólo si 

                                            ∀𝑥((𝑥∈𝑋→𝑥∈𝑌)∧(𝑥∈𝑌→𝑥∈𝑋))

Esta última caracterización es una manera de probar que los dos conjuntos son iguales.

Ejemplos de conjuntos

Si

𝐶 = {1,3} y 𝐴 = {1,2,3,4}

entonces 𝐶 es un subconjunto de 𝐴, y se escribe 𝐶 ⊆ 𝐴.

En símbolos, 𝑋 es un subconjunto de 𝑌 si

                                                               ∀𝑥(𝑥∈𝑋→𝑥∈𝑌)

En palabras, X es un subconjunto de Y si para toda x, si x está en X, entonces x está en Y.

Conjunto potencia

En matemáticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Por ejemplo, dado el conjunto:

𝐴={1,2,3}

el conjunto potencia es:

Ƥ(𝐴)= {𝜙,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}

El conjunto potencia A también se denomina conjunto de las partes de A, o conjunto de partes de A y se denota Ƥ(𝐴) donde 2^|𝐴| es el cardinal de las partes de A, es decir, |Ƥ(𝐴)|=2^|𝐴| .

El conjunto potencia de A es la clase o colección de los subconjuntos de A. El conjunto potencia A (o conjunto de partes o conjunto de las partes) es el conjunto Ƥ(𝐴) formado por todos los subconjuntos de A:

𝑏∈Ƥ(𝐴) cuando 𝑏⊆𝐴

Ejemplos

El conjunto potencia de 𝐴 = {𝑎, 2, 𝑐} es:

Ƥ(𝐴)={𝜙, {𝑎},{2},{𝑐},{𝑎,2},{𝑎,𝑐},{2,𝑐},{𝑎,2,𝑐}}

El conjunto potencia de 𝐴 = {𝑥} es:

Ƥ(𝐴)={𝜙, {𝑥}}

Unión, intersección, diferencia, complemento.

Si se tienen dos conjuntos X y Y, existen varias operaciones de conjuntos que implican a X y Y que pueden producir un nuevo conjunto. El conjunto

𝑋 ∪ 𝑌 = {𝑥 ┤|𝑥 ∈ 𝑋 𝑜 𝑥 ∈𝑌 }

se llama unión de X y Y. La unión consiste en todos los elementos que pertenecen a X o a Y (o a ambos).

El conjunto

𝑋 ∩ 𝑌 = {𝑥 ┤|𝑥 ∈ 𝑋  𝑦  𝑥 ∈𝑌 }

se llama intersección de X y Y. La intersección consiste en todos los elementos que pertenecen a X y Y.

El conjunto

𝑋 − 𝑌 = {𝑥 ┤|𝑥 ∈ 𝑋  𝑦  𝑥 ∉𝑌 }

se llama diferencia (o complemento relativo). La diferencia X − Y consiste en todos los elementos en X que no están en Y

Ejemplo:

Si 𝐴 = {1, 3, 5} y 𝐵 = {4, 5, 6}, entonces

𝐴∪ 𝐵 = {1, 3, 4, 5, 6}

𝐴 ∩ 𝐵 = {5}

𝐴 − 𝐵 = {1, 3}

𝐵 − 𝐴 = {4, 6}.

Observe que 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴

Los conjuntos X y Y son disjuntos si X ∩ Y = ∅. Se dice que una colección de conjuntos S es disjunta por pares si siempre que X y Y son conjuntos diferentes en S, X y Y son disjuntos.

Los conjuntos

{1, 4, 5} y {2, 6}

son disjuntos. La colección de conjuntos

𝑆 = {{1, 4, 5}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}

son disjuntos por pares.

En ocasiones, se trata con conjuntos donde todos son subconjuntos de un conjunto U. Este conjunto U se llama conjunto universal o universo. El conjunto U debe estar dado explícitamente o poder inferirse del contexto. Dado un conjunto universal U y un subconjunto X de U, el conjunto 𝑈−𝑋 se llama complemento de X y se escribe 𝑋'.

Sea 𝐴 = {1, 3, 5}. 

Si U, un conjunto universal, se especifica como 𝑈 = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces 𝐴'= {2, 4}. Por otra parte, si un conjunto universal se especifica como 𝑈 = {1, 3, 5, 7, 9}, entonces 𝐴'= {7, 9}. Es evidente que el complemento depende del universo en el que se está trabajando.

Dado el espacio muestral y los conjuntos:

U= {0,1,2,3,4,5,6,7,8}     A = {2,4,6}   B = {1,3,5}   C = {0,3,6}

Calcule:

A∩B={∅}

B-C={1,5}

C-B={0,6}

A'={0,1,3,5,7,8}

B'={0,1,3,5,6}

A'∩B'={0,1,3,5,7,8}∩{0,2,4,6,7,8}={0,7,8}

(A'∩B')-C={0,7,8}-{0,3,6}={7,8}

Bibliografía

• "Conjunto". Autor: Equipo editorial, Etecé. De: Argentina. Para: Concepto.de. Disponible en: https://concepto.de/que-es-un-conjunto/. Última edición: 5 de agosto de 2021. Consultado: 16 de septiembre de 2021 - Fuente: https://concepto.de/que-es-un-conjunto/
• Johnsonbaugh, R. (2005). Matemáticas discretas. Pearson Educación.