Un conjunto es simplemente una colección de objetos. En ocasiones se hace referencia a los objetos como elementos o miembros. Si un conjunto es finito y no muy grande, es posible describirlo por la lista de los elementos en él.
Teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos es la rama de la matemática que estudia a los conjuntos. Fue introducida como disciplina por el matemático ruso Georg Cantor, quien definió al conjunto como la colección de elementos finitos o infinitos y lo utilizó para explicar las matemáticas.
Cantor estudió el conjunto de números racionales y naturales y fue revolucionario su descubrimiento de los conjuntos de números infinitos, ya que develó la existencia de infinitos de diferentes tamaños al asegurar que siempre se puede encontrar un infinito mayor.
Los descubrimientos de Cantor no fueron bien recibidos en el ámbito matemático de finales del siglo XIX. Sin embargo, hoy es considerado un visionario en el estudio de lo que él denominó los transfinitos, estudio que contribuyó al de los conjuntos abstractos e infinitos.
Tipos de conjuntos
A la hora de formar un conjunto, la manera y el porqué de la agrupación de los elementos que lo conforman puede variar dando lugar a diferentes tipos de conjuntos, que pueden ser:
- Conjuntos finitos. Sus elementos pueden contarse o enumerarse en su totalidad. Por ejemplo: los meses del año, los días de la semana o los continentes.
- Conjunto infinito. Sus elementos no se pueden contar o enumerar en su totalidad, debido a que no tienen fin. Por ejemplo: los números.
- Conjunto unitario. Está compuesto por un único elemento. Por ejemplo: La Luna es el único elemento en el conjunto “satélites naturales de la Tierra”.
- Conjunto vacío. No presenta ni contiene elementos.
- Conjunto homogéneo. Sus elementos presentan una misma clase o categoría.
- Conjunto heterogéneo. Sus elementos difieren en clase y categoría.
- Conjuntos equivalentes. La cantidad de elementos entre dos o más conjuntos es la misma.
- Conjuntos iguales. Dos o más conjuntos están compuestos por elementos idénticos.
Subconjunto
Se denomina subconjunto al conjunto que se encuentra dentro de otro conjunto, es decir, el conjunto A es subconjunto del conjunto B, si todos los elementos de A están incluidos en B.
Por ejemplo:
- Los mamíferos son un subconjunto del conjunto animales.
- Los números impares son un subconjunto del conjunto números naturales.
- Los países de América del Sur son un subconjunto del conjunto países del mundo.
- Los meses de primavera son un subconjunto del conjunto meses del año.
- Los niños de primer grado son un subconjunto del conjunto de niños de la escuela.
La palabra conjunto también se emplea en otras áreas, tal es el caso de:
- Conjunto musical. Agrupación que contiene dos o más personas que, a través de la voz o instrumentos musicales, representan obras musicales.
- Conjunto en programación. Agrupación de diversos valores, que no tienen un orden determinado ni valores duplicados.
- Conjunto vocal. Agrupación de personas que interpretan una obra musical de forma coordinada.
- Conjunto numérico. Agrupación de números mediante una serie de propiedades estructuradas.
- Conjunto de instrucciones. Agrupación de instrucciones que una CPU de computadora puede ejecutar.
Por ejemplo, la ecuación
𝐴 = {1, 2, 3, 4}
describe un conjunto A integrado por cuatro elementos 1, 2, 3 y 4. Un conjunto se determina por sus elementos y no por el orden particular en el que se enumeren. Así, es lo mismo si A se especifica como
𝐴 = {1, 3, 4, 2}
Se supone que los elementos que forman un conjunto son distintos, y aunque por alguna razón podemos tener duplicados en la lista, sólo una ocurrencia de cada uno está en el conjunto. Por esta razón, también podemos describir el conjunto 𝐴 definido anteriormente como
𝐴 = {1, 2, 2, 3, 4}
Si un conjunto es finito grande o infinito, se describe mediante una propiedad necesaria para ser miembro. Por ejemplo, la ecuación
𝐵 = {𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟, 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜}
describe el conjunto B formado por todos los enteros pares, positivos; es decir, B consiste en los enteros 2, 4, 6, etcétera. La barra vertical “|” se lee “tal que”.
𝐵 = {𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟, 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜}
La ecuación anterior se leería “B es igual al conjunto de todas las x tales que x es un entero par, positivo”. Aquí, ser “un entero par, positivo” es la propiedad necesaria para pertenecer al conjunto. Observe que la propiedad aparece después de la barra vertical.
Conjunto nulo
El conjunto sin elementos se llama conjunto vacío (o nulo) y se denota por 𝜙. Así,
𝜙 = {}.
Conjuntos iguales
Dos conjuntos 𝑋 y 𝑌 son iguales y escribimos 𝑋 = 𝑌, si 𝑋 y 𝑌 tienen los mismos elementos. Dicho de otra manera, 𝑋 = 𝑌 si para cada 𝑥, si 𝑥 ∈ 𝑋, entonces 𝑥 ∈ 𝑌 (de manera que todo elemento de 𝑋 es un elemento de 𝑌) y para toda 𝑥, si 𝑥 ∈ 𝑌, entonces 𝑥 ∈ 𝑋 (de manera que todo elemento de Y es un elemento de X).
En símbolos, X = Y si y sólo si
∀𝑥((𝑥∈𝑋→𝑥∈𝑌)∧(𝑥∈𝑌→𝑥∈𝑋))
Esta última caracterización es una manera de probar que los dos conjuntos son iguales.
Ejemplos de conjuntos
Si
𝐶 = {1,3} y 𝐴 = {1,2,3,4}
entonces 𝐶 es un subconjunto de 𝐴, y se escribe 𝐶 ⊆ 𝐴.
En símbolos, 𝑋 es un subconjunto de 𝑌 si
∀𝑥(𝑥∈𝑋→𝑥∈𝑌)
En palabras, X es un subconjunto de Y si para toda x, si x está en X, entonces x está en Y.
Conjunto potencia
En matemáticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Por ejemplo, dado el conjunto:
𝐴={1,2,3}
el conjunto potencia es:
Ƥ(𝐴)= {𝜙,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}
El conjunto potencia A también se denomina conjunto de las partes de A, o conjunto de partes de A y se denota Ƥ(𝐴) donde 2|𝐴| es el cardinal de las partes de A, es decir, |Ƥ(𝐴)|=2|𝐴| .
El conjunto potencia de A es la clase o colección de los subconjuntos de A. El conjunto potencia A (o conjunto de partes o conjunto de las partes) es el conjunto Ƥ(𝐴) formado por todos los subconjuntos de A:
𝑏∈Ƥ(𝐴) cuando 𝑏⊆𝐴
Ejemplos
El conjunto potencia de 𝐴 = {𝑎, 2, 𝑐} es:
Ƥ(𝐴)={𝜙, {𝑎},{2},{𝑐},{𝑎,2},{𝑎,𝑐},{2,𝑐},{𝑎,2,𝑐}}
El conjunto potencia de 𝐴 = {𝑥} es:
Ƥ(𝐴)={𝜙, {𝑥}}
Unión, intersección, diferencia, complemento.
Si se tienen dos conjuntos X y Y, existen varias operaciones de conjuntos que implican a X y Y que pueden producir un nuevo conjunto. El conjunto
𝑋 ∪ 𝑌 = {𝑥 ┤|𝑥 ∈ 𝑋 𝑜 𝑥 ∈𝑌 }
se llama unión de X y Y. La unión consiste en todos los elementos que pertenecen a X o a Y (o a ambos).
El conjunto
𝑋 ∩ 𝑌 = {𝑥 ┤|𝑥 ∈ 𝑋 𝑦 𝑥 ∈𝑌 }
se llama intersección de X y Y. La intersección consiste en todos los elementos que pertenecen a X y Y.
El conjunto
𝑋 − 𝑌 = {𝑥 ┤|𝑥 ∈ 𝑋 𝑦 𝑥 ∉𝑌 }
se llama diferencia (o complemento relativo). La diferencia X − Y consiste en todos los elementos en X que no están en Y
Ejemplo:
Si 𝐴 = {1, 3, 5} y 𝐵 = {4, 5, 6}, entonces
𝐴∪ 𝐵 = {1, 3, 4, 5, 6}
𝐴 ∩ 𝐵 = {5}
𝐴 − 𝐵 = {1, 3}
𝐵 − 𝐴 = {4, 6}.
Observe que 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴
Los conjuntos X y Y son disjuntos si X ∩ Y = ∅. Se dice que una colección de conjuntos S es disjunta por pares si siempre que X y Y son conjuntos diferentes en S, X y Y son disjuntos.
Los conjuntos
{1, 4, 5} y {2, 6}
son disjuntos. La colección de conjuntos
𝑆 = {{1, 4, 5}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}
son disjuntos por pares.
En ocasiones, se trata con conjuntos donde todos son subconjuntos de un conjunto U. Este conjunto U se llama conjunto universal o universo. El conjunto U debe estar dado explícitamente o poder inferirse del contexto. Dado un conjunto universal U y un subconjunto X de U, el conjunto 𝑈−𝑋 se llama complemento de X y se escribe 𝑋'.
Sea 𝐴 = {1, 3, 5}.
Si U, un conjunto universal, se especifica como 𝑈 = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces 𝐴'= {2, 4}. Por otra parte, si un conjunto universal se especifica como 𝑈 = {1, 3, 5, 7, 9}, entonces 𝐴'= {7, 9}. Es evidente que el complemento depende del universo en el que se está trabajando.
Dado el espacio muestral y los conjuntos:
U= {0,1,2,3,4,5,6,7,8} A = {2,4,6} B = {1,3,5} C = {0,3,6}
Calcule:
A∩B={∅}
B-C={1,5}
C-B={0,6}
A'={0,1,3,5,7,8}
B'={0,1,3,5,6}
A'∩B'={0,1,3,5,7,8}∩{0,2,4,6,7,8}={0,7,8}
(A'∩B')-C={0,7,8}-{0,3,6}={7,8}
Bibliografía
- "Conjunto". Autor: Equipo editorial, Etecé. De: Argentina. Para: Concepto.de. Disponible en: https://concepto.de/que-es-un-conjunto/. Última edición: 5 de agosto de 2021. Consultado: 16 de septiembre de 2021 - Fuente: https://concepto.de/que-es-un-conjunto/
- Johnsonbaugh, R. (2005). Matemáticas discretas. Pearson Educación.
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